本篇文章纯AI,无手工!
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函数极限的严格证明:LIMX→+∞1X=0\LIM\LIMITS_{X \TO +\INFTY} \DFRAC{1}{X} = 0X→+∞LIM X1 =0
1. 定义引述
设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞) 上有定义。若 ∀ε>0\forall \varepsilon > 0∀ε>0,∃X>0\exists X > 0∃X>0,使得当 x>Xx > Xx>X 时,恒有
∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε
则称 AAA 为 f(x)f(x)f(x) 当 x→+∞x \to +\inftyx→+∞ 时的极限,记作
limx→+∞f(x)=A\lim_{x \to +\infty} f(x) = A x→+∞lim f(x)=A
2. 命题陈述
设 f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f(x)=x1 ,x∈(0,+∞)x \in (0,+\infty)x∈(0,+∞),求证:
limx→+∞1x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 x→+∞lim x1 =0
3. 证明过程
任取 ε>0\varepsilon > 0ε>0,考察不等式
∣1x−0∣<ε\left|\frac{1}{x} - 0\right| < \varepsilon x1 −0 <ε
化简得
1∣x∣<ε\frac{1}{|x|} < \varepsilon ∣x∣1 <ε
因 x→+∞x \to +\inftyx→+∞,限定 x>0x > 0x>0,则 ∣x∣=x|x|=x∣x∣=x,上式等价于
1x<ε\frac{1}{x} < \varepsilon x1 <ε
解得
x>1εx > \frac{1}{\varepsilon} x>ε1
取 X=1εX = \dfrac{1}{\varepsilon}X=ε1 ,则对 ∀x>X\forall x > X∀x>X,均有
∣1x−0∣<ε\left|\frac{1}{x} - 0\right| < \varepsilon x1 −0 <ε
由函数在 +∞+\infty+∞ 处极限的定义,命题得证。
4. 结论
limx→+∞1x=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 x→+∞lim x1 =0